Оцінка точності величин, що визначаються з функціональних залежностей

Фис М.М., Бридун А.М., Согор А.Р.

Національний університет «Львівська політехніка», 79013, м. Львів, вул. Карпінського, 6

Реферат

Виконано узагальнення формули апріорної оцінки точності для випадку неявно заданих функцій. При цьому в основу покладено класичне визначення середньоквадратичної похибки, яка подається як сума квадратів добутків частинних похідних від аргументів та похибок їх визначення. Диференціювання здійснюється із залученням теорії неявних функцій багатьох змінних, для якої не вимагається явного задання функції аналітичним виразом. Відповідні похідні визначаються диференціюванням рівняння, в якому фігурує досліджувана функція, за відповідними змінними, включаючи і саму функцію. Для обчислень потрібні лише значення функції та аргументів, для яких проводиться оцінка точності. Ці значення знаходяться різними способами, у тому числі наближеними методами розв'язування нелінійних рівнянь (наприклад, методом Ньютона, методом половинного ділення). Такий підхід узагальнюється на випадок декількох функцій, які визначаються вже з сукупності нелінійних рівнянь. Їх диференціювання дає лінійну систему, розв'язки якої є елементами у формулах для оцінки точності кожної з функцій. Розв'язок цієї системи визначається методом Крамера. Оскільки матриця коефіцієнтів для всіх лінійних систем є однаковою, то для розв'язування доцільно використати метод оберненої матриці. Це значно скорочує кількість обчислень. Значення функцій, для яких визначаються похибки, отримуються з системи рівнянь, що пов'язують їх. Пошук їх є значно проблематичніший, ніж для однієї змінної. Таким чином, отримується строга апріорна оцінка точності без будь-яких обмежень на досліджувані функції, наприклад, у вигляді наближеного їх подання рядами Тейлора або приблизних оцінок при розв'язуванні рівнянь. Запропонована методика апробована на тестових прикладах, які охоплюють оцінку точності як для однієї, так і для двох змінних, причому для першого розглянутий практичний випадок. Результати обчислень підтверджують доцільність використання наведеної методики. Тому на рівнозначній основі, поряд з традиційним підходом, наведений алгоритм можна застосовувати в більш складних випадках, тобто для випадку неявного визначення функції.

Ключові слова: неявна функція; частинні похідні; теорія похибок

Перелік посилань

Зазуляк П.М., Гавриш В.І. Євсєєва Е.М., Йосипчук М.Д. Основи математичного опрацювання геодезичних вимірювань: навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл. / заг. ред. В.І. Гавриш. – Львів: Видавництво “Растр-7”, 2007. – 408 с.
Немыцкий В., Слудская М., Черкасов А. Курс математического анализа. – М.: Наука, 1967. – 498 с.
Глотов В., Фис М. Оцінка точності кутових елементів зовнішнього орієнтування цифрових зображень, отриманих з БПЛА з застосуванням похідних неявно заданих функцій // Матеріали 25-ї міжнародної науково-технічної конференції “ГЕОФОРУМ-2020”, 1–3 квітня 2020 р., Львів – Яворів – Брюховичі, Україна. – С.3–7.
Безменов В.М., Сафин К.И. Оценка точности прямой фотограмметрической засечки для произвольного случая съёмки разными камерами // Изв. вузов “Геодезия и аэрофотосъемка”. – 2020. – Т. 64, № 4. – С.415–422.

Завантажити PDF